<div dir="ltr"><div dir="ltr">On Wed, 11 Dec 2024 at 08:26, Donald Tillman <<a href="mailto:don@till.com">don@till.com</a>> wrote:</div><div class="gmail_quote gmail_quote_container"><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left:1px solid rgb(204,204,204);padding-left:1ex"><div>On Dec 10, 2024, at 1:00 PM, Mattias Rickardsson <<a href="mailto:mr@analogue.org" target="_blank">mr@analogue.org</a>> wrote:</div><div><blockquote type="cite"><div dir="auto"><div class="gmail_quote" dir="auto"><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left:1px solid rgb(204,204,204);padding-left:1ex"><div><blockquote type="cite"><div dir="auto"><div><div class="gmail_quote"><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left:1px solid rgb(204,204,204);padding-left:1ex"><div><div>And a sawtooth ramping up has its harmonics alternating in phase (+1, -1/2, +1/3, -1/4,...) from the fundamental.</div></div></blockquote></div></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">But are you counting from the midpoint now? Surely they must still be in phase if you just flip the sawtooth backwards around its discontinuity?</div></div></blockquote><div><br></div>(I had to think about this...)</div><div>Good point!  When you play it backwards the even harmonics reverse polarity but the odd harmonics don't.  So yeah, it's consistent that way.</div></blockquote></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Not sure how you mean now, but... :-)</div></div></blockquote><div><br></div><div>Yeah, I goofed... I guess I meant to say that when you flip it backwards the sine components reverse polarity but the cosines don't.</div></div></blockquote><div><br></div><div>Aha! Well, occasional goofing is allowed, normal, even recommended. Don't stop goofing!</div><div> </div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left:1px solid rgb(204,204,204);padding-left:1ex"><div>So, the traditional slope-up sawtooth that steps down at t=0 is:</div></blockquote><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left:1px solid rgb(204,204,204);padding-left:1ex"><div>    saw = -sin(t) - (1/2)sin(2t) - (1/3)sin(3t) - (1/4)sin(4t) -...</div><div>Which is problematic when you want to mix it with another wave because the fundamental is out of phase.  </div><div>You can shift it over so that it steps down halfway through, but then you have alternating harmonic polarities:</div><div>    saw = sin(t) - (1/2)sin(2t) + (1/3)sin(3t) - (1/4)sin(4t) +...</div><div>My choice, because I care about phases, is a slope-down sawtooth that steps up at t=0, and that's completely in phase:</div><div>    saw = sin(t) + (1/2)sin(2t) + (1/3)sin(3t) + (1/4)sin(4t) +...</div><div><br></div><div>That is, when you start with a description of the spectrum you want, and figure out the waveform from that, the result is a slope-down sawtooth.</div></blockquote><div><br></div><div>This is a good thing, because slope-down sawtooth is also the one to choose when it comes to modulation! Connecting a sawtooth to modulate amplitude, frequency, etc - it makes more sense to use the downwards-going variant, especially in lower frequencies, since it results in decaying amplitudes or spectra. Similar to how real-world sounds can behave. The opposite, using a slope-up sawtooth, results in sounds that can feel like when playing things backwards.</div><div><br></div><div>I believe this modulation-polarity preference is totally unrelated to the overtone-polarity preference that you described, so we should be thankful that they happen to be the same. :-) </div><div><br></div><div>/mr</div><div><br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left:1px solid rgb(204,204,204);padding-left:1ex"></blockquote></div></div>