<div dir="auto"><div class="gmail_quote" dir="auto"><div dir="ltr" class="gmail_attr">Donald Tillman <<a href="mailto:don@till.com" target="_blank" rel="noreferrer">don@till.com</a>> skrev:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div style="line-break:after-white-space"><div>Mattias Rickardsson <<a href="mailto:mr@analogue.org" rel="noreferrer noreferrer" target="_blank">mr@analogue.org</a>> wrote:</div><div><blockquote type="cite"><div><div dir="auto"><div><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">Donald Tillman <<a href="mailto:don@till.com" rel="noreferrer noreferrer" target="_blank">don@till.com</a>> skrev:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div style="line-break:after-white-space"><div>Note that a sawtooth ramping down has all the harmonics in phase with the fundamental.</div></div></blockquote></div></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Yes.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><div class="gmail_quote"><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div style="line-break:after-white-space"><div>And a sawtooth ramping up has its harmonics alternating in phase (+1, -1/2, +1/3, -1/4,...) from the fundamental.</div></div></blockquote></div></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">But are you counting from the midpoint now? Surely they must still be in phase if you just flip the sawtooth backwards around its discontinuity?</div></div></div></blockquote><div><br></div>(I had to think about this...)</div><div><br></div><div>Good point!  When you play it backwards the even harmonics reverse polarity but the odd harmonics don't.  So yeah, it's consistent that way.</div></div></blockquote></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Not sure how you mean now, but... :-)</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Suppose we start a downward-going ramp waveform at its upward-going discontinuity. This positive jump is caused by all the harmonics having positive slope. At this point they are all sinewaves going up through a zero crossing. The sum of those slopes (all of them have derivative 1!) is a discontinuity.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Halfway through the waveform we come to the point where the ramp slope is going down through zero. At this point, all the even partials have spent a whole number of periods, and have another positive zero crossing there. All the odd partials are halfway through a period, and so they have a negative zero crossing there. </div><div dir="auto">In summary, partials 1, 3, 5, ... have negative zero crossings and partials 2, 4, 6, ... have positive zero crossings here. (That's why the partials have alternate signs if this point is taken as the starting point.) The sum of them is a downwards hill, not a discontinuity.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Trivial perhaps, but anyway. These things are fun to play with using some math graph tool. :-)</div></div>